如果员工在上班期间打架斗殴，其行为严重违反了用人单位规章制度，影响了企业正常经营秩序的，公司是可以对员工开除的。

根据《劳动法》规定：“劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同：

(一)在试用期间被证明不符合录用条件的;

(二)严重违反劳动纪律或者用人单位规章制度的;

(三)严重失职、营私舞弊，对用人单位利益造成造成重大损害的;

(四)被依法追究刑事责任的。

打架行为发生之后，公司首先要了解清楚员工打架的具体原因，大多数的公司对打架的员工通常会要求支付罚款，无论谁先动手，都要承担相应的后果。

若是打架行为已经将对方打成了重伤，那打架双方可能需要承担刑事责任。一般而言，如果出现在公司打架，建议打架当事人都要被开除，不论这个人对公司有何贡献，有多么重要，至少要起到以儆效尤的作用，杜绝再发生此类事件。

当然，如果公司制度有其他规定，也可根据制度进行处理。无论处理结果是怎样，都要以通告形式公布，让所有员工以此为戒。